Matte 3 kapitel 3 12345678 Matte 3 - Kapitel 3 - 3.1 Denna quiz behandlar följande delar: Vad säger förstaderivatan om grafen? Derivator och tillämpningar Från derivata till funktion Integraler 1 / 8 Utgå från bilden ovan och besvara vad som är sant: pilen upp betyder att funktionen ökar pilarna betyder något annat pilen ner betyder att funktionen minskar 2 / 8 En funktion kan vara växande, avtagande eller inte ha lutningen noll (varken växande eller avtagande) Inte uppfattat Uppfattat 3 / 8 För att hitta funktionens globala minimipunkt eller maximipunkt i ett intervall måste vi undersöka funktionsvärdet i: alla lokala extrempunkter (minimi- och maximipunkter) intervallets start och slutpunkt Det största värdet av de alla är global maximivärde Det minsta värdet av de alla är global minimivärde Uppfattat Inte uppfattat 4 / 8 Utgå från teckentabellen ovan och svara på vad som är sant: vid x= 2 har funktionen en maximipunkt vid x= -2 har funktionen en maximipunkt 0 står för att lutningen är noll vid extrempunkterna Vid x=2 har funktionen en minimipunkt Vid x=-2 har funktionen en minimipunkt Funktionen har sina extrempunkter i (-2, -16) och (2, 16) 5 / 8 Med derivering kan man undersöka hur en funktion ser ut. Lösningsgången är: Hitta extrempunkterna: 1. Derivera funktionen 2. Sätt derivatan = 0 3. Lös ut x Nu har vi hittat x-värdena för funktionens extrempunkter (ofta får men flera svar vilket betyder att funktionen har flera extrempunkter) 4. Stoppa in x-värdena som du fick, i den ursprungliga funktionen 5. Beräkna funktionsvärdet y Nu har vi hittat y-värdena för funktionen Undersök om funktionen växer eller avtar kring extrempunkterna: 6. För varje extrempunkt ska vi sätta in ett större och ett mindre värde i derivatan som vi fick. Om svaret då blir positivt så ökar funktionen Om svaret blir negatiovt minskar funktionen 7. Gör detta för alla extrempunkter Nu kan vi lägga in alla beräknade värden i en teckentabell och då kan vi tydligt läsa av hur funktionen ser ut! Inte uppfattat Uppfattat 6 / 8 Om funktionen är växande så är: derivatan = 0 derivatans tecken negativt derivatans tecken positivt tangentens k-värde 0 tangentens k-värde negativt tangentens k-värde positivt 7 / 8 Om funktionen är avtagande så är: tangentens k-värde 0 tangentens k-värde negativt derivatans tecken negativt tangentens k-värde positivt derivatans tecken positivt derivatan = 0 8 / 8 Om funktionen är varken växande eller avtagande (alltså där funktionen "vänder") så har vi : derivatans tecken positivt en extrempunkt tangentens k-värde positivt tangentens k-värde 0 tangentens k-värde negativt derivatans tecken negativt derivatan = 0 Your score is 123456789 Matte 3 - Kapitel 3 - 3.2 Denna quiz behandlar följande delar: Vad säger förstaderivatan om grafen? Derivator och tillämpningar Från derivata till funktion Integraler 1 / 9 Kan alla funktioner deriveras? Ja Nej 2 / 9 Om andraderivatan är = 0: Måste vi undersöka funktionen med teckentabell (den tidigare metoden) Har vi minimipunkt Har vi troligtvis en terasspunkt Har vi maximipunkt 3 / 9 Ibland får man uppgifter där man vet omkretsen på en rektangel och man ska bestämma de längder på rektangelns sidor som ger största möjliga area. Lösningsgången är: 1. Skriv upp ett uttryck för arean där du kallar ena sidan för x (uttrycket är en funktion som kan deriveras) 2. Derivera utrycket och sätt derivatan lika med noll. 3. Lös ut x Nu har vi fått maximipunkten för "areafunktionen" (alltså det x-värde som ger störst area) När man vet det kan man bestämma sidornas längd som ger störst area. Uppfattat Inte uppfattat 4 / 9 Man kan inte derivera: Funktioner som inte är kontinuerliga Spetsiga funktioner Funktioner som är kontinuerliga 5 / 9 Vad visar bilden ovan? Grafen för f(x)=|x| (avsolutbeloppet av x) Grafen för en okontinuerlig funktion Grafen för en kontinuerlig funktion 6 / 9 Med andraderivata kan man bestämma om en extrempunkt är en maximi- eller minimipunkt. Om andraderivatan har negativt tecken har vi en: Minimipunkt Maximipunkt 7 / 9 En asymptot är: En linje som skär funktionen i minst två punkter. En linje som tangerar funktionens graf i en viss punkt. En linje som funktionen närmar sig mot men alldrig når helt. 8 / 9 Med andraderivata kan man bestämma om en extrempunkt är en maximi- eller minimipunkt. Om andraderivatan har positivt tecken har vi en: Minimipunkt Maximipunkt 9 / 9 Vad visar bilden ovan? Grafen för en kontinuerlig funktion Grafen för en okontinuerlig funktion Grafen för f(x)=|x| (avsolutbeloppet av x) Your score is 12345678 Matte 3 - Kapitel 3 - 3.3 Denna quiz behandlar följande delar: Vad säger förstaderivatan om grafen? Derivator och tillämpningar Från derivata till funktion Integraler 1 / 8 Hur beräkar man primitiva funktionen för f(x) = x^n F(x) = n*x^(n-1) + C F(x) = x^(n+1) / (n+1) + C 2 / 8 Vi ska beräkna integralen av funktionen f(x) på intervallet a Uppfattat Inte uppfattat 3 / 8 Vad är primitiva funktionen för f(x)=x^1 ? F(x) = x^(1+1)/(1+1) + C = x^2/2 + C F(x) = 1*x^(1-1) + C = x^0 + C = 1 + C F(x) = x^1 + C = x + C 4 / 8 Vad är primitiva funktionen till e^(k*x) ? e^(k*x)/k + C e^(k*x) + C e^(k*x + 1) / (k*x + 1) + C 5 / 8 För integraler gäller följande: Man integrerar funktionen under ett visst intervall, intervallets startpunkt är a och slutpunkt är b. Används för att beräkna förändringshastighet Används för att berekna areor Man använder den primitiva funktionen för att beräkna en integral 6 / 8 Ett uttryck för alla primitiva funktionenr till f(x) skrivs som F(x) + C. Vad är C och varför behövs den? Bestäm ifall förklaringen nedan är sant eller falskt: När vi tar fram en primitiv funktion F(x) till en vanlig funktion f(x) så gör vi derivering baklänges. F(x) är alltså den funktionen som har den vanliga funktionen f(x) som sin derivata. När vi deriverar F(x) försvinner alla konstanter så när vi vill gå tillbaks måste vi lägga till en variabel som representerar alla konstanter som fanns till en början. Denna konstant kallar vi för C. C är alltså alla konstanter som har försvunnit under derivering och som måste läggas till för att få den ursprungliga funktionen. True False 7 / 8 En primitiv funktion: Är derivering två gånger Skrivs F(x) Är motsatsen till derivata Skrivs f(x) 8 / 8 Vad är primitiva funktionen för f(x)=x^2 ? F(x) = x^2 + C F(x) = x^(2+1)/(3+1) + C= x^3/3 + C F(x) = 1*x^(2-1) + C = x^1 + C= x + C Your score is